华赛教育 · 数学教研组 ｜ 第一节 极限：经典 16 + 选择 25 + 填空 19 + 计算 38；第二节 连续：经典 10 + 选择 20 + 填空 15 + 计算 10（含详解）
经典练习 1
$\lim\limits_{x\to 0}(1-3x)^{\frac1x}=$（ ）
A. $e^{-3}$
B. $e^{-\frac13}$
C. $1$
D. $e^3$
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答案：A
1. 使用重要极限 $\lim\limits_{u\to 0}(1+u)^{\frac1u}=e$。
2. 令 $u=-3x$，则 $x\to 0$ 时 $u\to 0$，且 $\frac1x=-\frac{3}{u}$。
3. 原式 $=\lim\limits_{u\to 0}(1+u)^{-\frac3u}=\left[\lim\limits_{u\to 0}(1+u)^{\frac1u}\right]^{-3}=e^{-3}$。
经典练习 2
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan 6x}{2x}=$（ ）
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
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答案：C
1. 当 $x\to 0$ 时，$\tan 6x\sim 6x$。
2. 因此 $\dfrac{\tan 6x}{2x}\sim \dfrac{6x}{2x}=3$。
3. 所以原极限为 $3$。
经典练习 3
设 $\lim\limits_{x\to 0}[\cos x-f(x)]=1$，则下列等式正确的是（ ）
A. $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$
B. $\lim\limits_{x\to 0}f(x)\cos x=1$
C. $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-1$
D. $\lim\limits_{x\to 0}[f(x)+\cos x]=1$
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答案：D（原书答案 A，严格按定义应为 D）
1. 已知 $\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1$。
2. 由 $\lim[\cos x-f(x)]=1$，得 $1-\lim f(x)=1$，所以 $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$。
3. 于是 $\lim\limits_{x\to 0}[f(x)+\cos x]=0+1=1$，选 D。
经典练习 4
设函数 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt 0,\\2,&x=0,\\\cos x,&x\gt 0,\end{cases}$ 则 $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$（ ）
A. 等于 $1$
B. 等于 $2$
C. 等于 $1$ 或 $2$
D. 不存在
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答案：A
1. 左极限：$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}(x+1)=1$。
2. 右极限：$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\cos x=1$。
3. 左右极限存在且相等，故极限为 $1$。注意 $f(0)=2$ 只影响连续性，不影响极限。
经典练习 5
$\lim\limits_{x\to 0}\left(3x\sin\dfrac1x+\dfrac{\sin x}{x}\right)=$（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $3$
D. $4$
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答案：B
1. 由“无穷小量乘有界函数”得 $\lim\limits_{x\to 0}3x\sin\frac1x=0$。
2. 由重要极限得 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
3. 原式 $=0+1=1$。
经典练习 6
下列极限等式不正确的是（ ）
A. $\lim\limits_{n\to\infty}e^{-n}=0$
B. $\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac1n}=1$
C. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^2-1}=0$
D. $\lim\limits_{x\to 0}x\sin\dfrac1x=0$
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答案：C
1. A、B 分别由 $e^{-n}\to0$ 和 $e^{1/n}\to1$ 可知正确。
2. C 中 $\dfrac{x-1}{x^2-1}=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac1{x+1}$（$x\ne1$），所以极限为 $\frac12$，不是 $0$。
3. D 由无穷小量乘有界函数得极限 $0$。因此不正确的是 C。
经典练习 7
若 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac ax\right)^x=4$，则常数 $a=$（ ）
A. $\ln2$
B. $2\ln2$
C. $1$
D. $4$
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答案：B
1. 由重要极限，$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac ax)^x=e^a$。
2. 题意给出 $e^a=4$，所以 $a=\ln4=2\ln2$。
经典练习 8
当 $x\to 0$ 时，下列无穷小量中，与 $x$ 不等价的无穷小量是（ ）
A. $\ln(x+1)$
B. $\arcsin x$
C. $1-\cos x$
D. $\sqrt{1+2x}-1$
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答案：C
1. 常见等价无穷小：$\ln(1+x)\sim x$，$\arcsin x\sim x$，$\sqrt{1+2x}-1\sim x$。
2. 而 $1-\cos x\sim \dfrac{x^2}{2}$，它与 $x$ 的比值趋于 $0$，不是等价无穷小。
3. 因此选 C。
经典练习 9
已知三个数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$ 满足 $a_n\le b_n\le c_n$ $(n\in\mathbb N_+)$，且 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，$\lim\limits_{n\to\infty}c_n=c$（$a,c$ 为常数，且 $a\lt c$），则数列 $\{b_n\}$ 必定（ ）
A. 无界
B. 有界
C. 发散
D. 收敛
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答案：B
1. 因为 $\{a_n\}$ 收敛，所以有界；同理 $\{c_n\}$ 也有界。
2. 设 $m\le a_n$、$c_n\le M$，则 $m\le a_n\le b_n\le c_n\le M$，故 $\{b_n\}$ 有界。
3. 当 $a\ne c$ 时夹逼准则不能保证 $\{b_n\}$ 收敛，例如两侧常数不同时可构造振荡数列，所以不能选 D。
经典练习 10
$\lim\limits_{x\to2}(x-2)\sin\dfrac1{2-x}=$（ ）
A. 等于 $-1$
B. 等于 $0$
C. 等于 $1$
D. 不存在
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答案：B
1. $x\to2$ 时，$x-2\to0$，而 $\sin\frac1{2-x}$ 有界。
2. 由“无穷小量乘有界函数仍为无穷小量”，原极限为 $0$。
经典练习 11
若 $x\to0$ 时，无穷小量 $2x$ 与 $3x^2+mx$ 等价，则常数 $m=\underline{\qquad}$。
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答案：$m=2$
1. 等价要求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x^2+mx}{2x}=1$。
2. 化简得 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac m2+\dfrac{3x}{2}\right)=\dfrac m2$。
3. 因此 $\dfrac m2=1$，即 $m=2$。
经典练习 12
已知当 $x\to0$ 时，$f(x)\sim2x$，则 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin6x}{f(x)}=\underline{\qquad}$。
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答案：$3$
1. 由 $x\to0$ 时 $\sin6x\sim6x$，$f(x)\sim2x$。
2. 所以 $\dfrac{\sin6x}{f(x)}\sim\dfrac{6x}{2x}=3$。
经典练习 13
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{4n^2+3n+1}}{n}=\underline{\qquad}$。
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答案：$2$
1. 因为 $n\to+\infty$，所以 $n\gt0$，$\dfrac{\sqrt{4n^2+3n+1}}{n}=\sqrt{4+\dfrac3n+\dfrac1{n^2}}$。
2. 令 $n\to\infty$，根号内趋于 $4$，故原式为 $\sqrt4=2$。
经典练习 14
设 $a$，$b$ 为常数，若 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{ax^2}{x+1}+bx\right)=2$，则 $a+b=\underline{\qquad}$。
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答案：$0$
1. 先拆项：$\dfrac{ax^2}{x+1}=ax-a+\dfrac{a}{x+1}$。
2. 所以原式 $=\lim\limits_{x\to\infty}\left[(a+b)x-a+\dfrac{a}{x+1}\right]$。
3. 极限为有限数 $2$，则一次项系数必须为 $0$，即 $a+b=0$。
4. 同时还要有 $-a=2$，解得 $a=-2,b=2$，确实满足 $a+b=0$。
经典练习 15
求极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}x(\sqrt{x^2+3}-x)$ 的值。
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答案：$\dfrac32$
1. 先有理化根式：$\sqrt{x^2+3}-x=\dfrac{(x^2+3)-x^2}{\sqrt{x^2+3}+x}=\dfrac3{\sqrt{x^2+3}+x}$。
2. 原式 $=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3}+x}$。
3. 分子分母同除以 $x$：$=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac3{\sqrt{1+\frac3{x^2}}+1}=\dfrac3{1+1}=\dfrac32$。
经典练习 16
求极限 $\lim\limits_{n\to\infty}\left[\ln\left(2+\dfrac1n\right)-\ln2\right]n$。
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答案：$\dfrac12$
1. 先合并对数：$\ln\left(2+\frac1n\right)-\ln2=\ln\left(1+\frac1{2n}\right)$。
2. 原式 $=\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac1{2n}\right)$。
3. 当 $n\to\infty$ 时，$\ln(1+\frac1{2n})\sim\dfrac1{2n}$。
4. 所以极限为 $\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot\dfrac1{2n}=\dfrac12$。
选择题 1
若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=k$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n}=$（ ）
A. $k$
B. $2k$
C. $0$
D. 不存在
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答案：A
1. 若数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $k$，则它的任意子列都收敛于同一个极限。
2. $\{a_{2n}\}$ 是 $\{a_n\}$ 的偶下标子列，所以 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n}=k$。
选择题 2
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有定义是 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 无关条件
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答案：D
1. 极限研究的是 $x\to x_0$ 但不等于 $x_0$ 时的变化趋势，函数在 $x_0$ 是否有定义并不影响极限存在。
2. 例如 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 无定义，但 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$；又如分段函数在 $x_0$ 有定义，极限仍可能不存在。
3. 因而两者既非充分也非必要，选 D。
选择题 3
设对任意的 $x$，总有 $h(x)\le f(x)\le g(x)$，且 $\lim\limits_{x\to\infty}[g(x)-h(x)]=0$，则 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$（ ）
A. 存在且等于 $0$
B. 存在但不一定等于 $0$
C. 一定不存在
D. 不一定存在
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答案：D
1. $g(x)-h(x)\to0$ 只说明上下界的差趋于 $0$，并没有说明 $h(x)$、$g(x)$ 各自是否趋于某个常数。
2. 例如取 $h(x)=x$，$g(x)=x$，则 $g-h=0\to0$，$h\le f\le g$ 迫使 $f(x)=x$，它在 $x\to\infty$ 时没有有限极限。
3. 因而不能保证 $f(x)$ 的极限存在，选 D。
选择题 4
当 $f(x)$ 为______时，则必有 $\lim\limits_{x\to a}(x-a)f(x)=0$。
A. 有界函数
B. 任意函数
C. 无穷大量
D. 无界函数
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答案：A
1. $x-a\to0$ 是无穷小量。
2. 若 $f(x)$ 有界，则无穷小量乘有界函数的极限为 $0$。
3. 无界函数不一定满足，例如 $f(x)=\frac1{(x-a)^2}$ 时乘积发散。
选择题 5
下列选项中极限不存在的是（ ）
A. $\lim\limits_{n\to\infty}2^n$
B. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1{2^n}$
C. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+n-2}{2n^2-n+1}$
D. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+n-2}{2n^3-n+1}$
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答案：A
1. $2^n\to+\infty$，极限不存在。
2. B 为 $0$；C 中分子分母同次，极限为 $\frac32$；D 中分母次数更高，极限为 $0$。
选择题 6
下列极限存在的是（ ）
A. $\lim\limits_{n\to\infty}\sin\dfrac1n$
B. $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x(x+1)}{x^2}$
C. $\lim\limits_{x\to1}\dfrac1{2^x-2}$
D. $\lim\limits_{n\to\infty}n(n+1)$
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答案：A
1. $\frac1n\to0$，所以 $\sin\frac1n\to0$，A 的极限存在。
2. B 的极限为 $1$，也存在；按本书该题常规意图若选项 A、B 均可，需注意 B 的记号可能漏写括号或趋向；本题正文按极限值讨论时应同时指出 B 也存在。
3. C 在 $x=1$ 处分母趋于 $0$，为无穷间断，极限不存在；D 趋于 $+\infty$，极限不存在。若要求单选题且题干按原书排版理解，选 A。
选择题 7
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n-1})=$（ ）
A. $1$
B. $0$
C. $2$
D. $3$
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答案：B
1. 有理化：$\sqrt{n+3}-\sqrt{n-1}=\dfrac{4}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n-1}}$。
2. 分母趋于 $+\infty$，故极限为 $0$。
选择题 8
$\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+2x}-x)=$（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $\infty$
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答案：B
1. 有理化：$\sqrt{x^2+2x}-x=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$。
2. 分子分母同除以 $x$：$\dfrac2{\sqrt{1+\frac2x}+1}\to\dfrac2{1+1}=1$。
选择题 9
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2\sin x}{5x}=$（ ）
A. $\dfrac25$
B. $1$
C. $\dfrac52$
D. $0$
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答案：A
1. 使用 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。
2. 原式 $=\dfrac25\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac25$。
选择题 10
下列各式中正确的是（ ）
A. $\lim\limits_{x\to0^+}(1+x)^x=1$
B. $\lim\limits_{x\to0^+}(1+x)^x=e$
C. $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac1x\right)^x=-e$
D. $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{-x}=e$
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答案：A
1. A、B 中 $(1+x)^x\to1^0=1$，所以 A 正确，B 错误。
2. C 中 $\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac1x)^x=e^{-1}$，不是 $-e$。
3. D 中 $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac1x)^{-x}=e^{-1}$，不是 $e$。
选择题 11
极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin2x}{x}=$（ ）
A. $2$
B. $1$
C. $\dfrac12$
D. $0$
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答案：D
1. $\sin2x$ 有界，而 $\frac1x\to0$。
2. 利用无穷小量乘有界函数，原极限为 $0$。
选择题 12
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+3\sin n}{n}=$（ ）
A. $\infty$
B. $2$
C. $3$
D. $5$
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答案：B
1. 拆项：$\dfrac{2n+3\sin n}{n}=2+3\dfrac{\sin n}{n}$。
2. 因为 $\frac{\sin n}{n}\to0$，所以极限为 $2$。
选择题 13
$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\dfrac1x=$（ ）
A. $\dfrac12$
B. $0$
C. $\infty$
D. $1$
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答案：D
1. 令 $t=\frac1x$，则 $x\to\infty$ 时 $t\to0$。
2. 原式 $=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1$。
选择题 14
设 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin2x}{ax}=3$，则 $a=$（ ）
A. $\dfrac23$
B. $\dfrac32$
C. $2$
D. $6$
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答案：A
1. $\sin2x\sim2x$，所以 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{ax}=\frac2a$。
2. 由 $\frac2a=3$，得 $a=\frac23$。
选择题 15
设 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{(x+1)(ax+1)^5}{(x^2+1)^3}=32$，则 $a=$（ ）
A. $1$
B. $2$
C. $\sqrt[5]{8}$
D. $3$
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答案：B
1. 分子最高次为 $x^1\cdot (ax)^5=a^5x^6$，分母最高次为 $x^6$。
2. 所以极限为 $a^5$。
3. $a^5=32$，得 $a=2$。
选择题 16
若 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac kx\right)^x=2$，则常数 $k=$（ ）
A. $e^2$
B. $\sqrt e$
C. $\ln2$
D. $-\ln2$
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答案：C
1. $\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\frac kx)^x=e^k$。
2. 由 $e^k=2$，得 $k=\ln2$。
选择题 17
若 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}=5$，则（ ）
A. $a=-9,b=14$
B. $a=1,b=-6$
C. $a=-2,b=0$
D. $a=-2,b=-5$
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答案：B
1. 因分母趋于 $0$ 且极限存在，分子在 $x=2$ 处也必须为 $0$：$4+2a+b=0$。
2. 分子可分解为 $(x-2)(x+a+2)$，于是原极限为 $\lim\limits_{x\to2}(x+a+2)=a+4$。
3. 由 $a+4=5$ 得 $a=1$，再代入得 $b=-6$。
选择题 18
极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^{2x}$ 的值是（ ）
A. $e$
B. $\dfrac1e$
C. $e^2$
D. $0$
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答案：C
1. 取对数：$2x\ln\dfrac{x}{x-1}=2x\ln\left(1+\dfrac1{x-1}\right)$。
2. 因为 $x\ln(1+\frac1{x-1})\to1$，所以对数极限为 $2$。
3. 原式 $=e^2$。
选择题 19
极限 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac2x-\dfrac2{|x|}\right)=$（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. 不存在
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答案：D
1. 当 $x\gt0$ 时，$|x|=x$，原式为 $0$，右极限为 $0$。
2. 当 $x\lt0$ 时，$|x|=-x$，原式为 $\frac2x+\frac2x=\frac4x\to-\infty$。
3. 左右极限不相同，极限不存在。
选择题 20
当 $x\to0$ 时，下列变量是无穷小量的是（ ）
A. $\dfrac1{x^2}$
B. $2^x$
C. $\sin x$
D. $\ln(x+e)$
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答案：C
1. $\sin x\to0$，所以 C 是无穷小量。
2. $\frac1{x^2}\to+\infty$；$2^x\to1$；$\ln(x+e)\to1$。故选 C。
选择题 21
下列四种趋向中，函数 $y=\dfrac{x(x-1)\sqrt{x+1}}{x^3-1}$ 不是无穷小的是（ ）
A. $x\to0$
B. $x\to1$
C. $x\to-1^+$
D. $x\to+\infty$
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答案：B
1. 因 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，当 $x\ne1$ 时可约去 $x-1$，得 $y=\dfrac{x\sqrt{x+1}}{x^2+x+1}$。
2. $x\to0$ 时 $y\to0$；$x\to-1^+$ 时 $\sqrt{x+1}\to0$；$x\to+\infty$ 时 $y\sim x^{-3/2}\to0$，三者都是无穷小。
3. $x\to1$ 时，约分后的函数趋于 $\frac{1\cdot\sqrt2}{3}\ne0$，故不是无穷小。选 B。
选择题 22
若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x\to x_0$ 时都是无穷大，则下列极限正确的是（ ）
A. $\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=\infty$
B. $\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)-g(x)]=0$
C. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac1{f(x)+g(x)}=0$
D. $\lim\limits_{x\to x_0}bf(x)=\infty$（$b$ 为非零常数）
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答案：D
1. 无穷大与无穷大相加减可能抵消或发生未定情形，A、B 不一定成立。
2. 若 $f(x)+g(x)$ 可能趋于 $0$，则倒数的极限不一定为 $0$，C 不一定成立。
3. 对任意非零常数 $b$，$bf(x)$ 仍为无穷大，故 D 正确。
选择题 23
$x\to3$ 时，下列命题正确的是（ ）
A. $x^2-9$ 与 $x-3$ 互为等价无穷小
B. $x^2-9$ 与 $x-3$ 互为同阶非等价无穷小
C. $x^2-9$ 是 $x-3$ 的高阶无穷小
D. $x^2-9$ 是 $x-3$ 的低阶无穷小
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答案：B
1. $x^2-9=(x-3)(x+3)$。
2. 两者比值 $\dfrac{x^2-9}{x-3}=x+3\to6$，为非零常数。
3. 非零常数不等于 $1$，所以二者同阶但非等价。
选择题 24
当 $n\to\infty$ 时，$\ln\dfrac{n-1}{n}$ 是 $\dfrac1n$ 的（ ）
A. 高阶无穷小
B. 低阶无穷小
C. 等价无穷小
D. 同阶但非等价无穷小
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答案：D
1. $\ln\dfrac{n-1}{n}=\ln\left(1-\dfrac1n\right)$。
2. 当 $n\to\infty$ 时，$\ln(1-\frac1n)\sim-\frac1n$。
3. 两者比值趋于 $-1$，为非零常数但不为 $1$，故同阶但非等价。
选择题 25
$x\to0$ 时，$x^3+\sin x$ 是 $x$ 的（ ）
A. 高阶无穷小
B. 等价无穷小
C. 同阶但不等价无穷小
D. 低阶无穷小
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答案：B
1. 当 $x\to0$ 时，$\sin x\sim x$，且 $x^3$ 是比 $x$ 高阶的无穷小。
2. 因而 $x^3+\sin x\sim x$。
3. 所以二者是等价无穷小。
填空题 1
$\lim\limits_{x\to0}(1-\sin2x)^{\frac1x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$e^{-2}$
1. 记 $u=-\sin2x$，当 $x\to0$ 时 $u\to0$。
2. $u\sim-2x$，且 $\frac1x\sim-\frac2u$。
3. 原式趋于 $\lim\limits_{u\to0}(1+u)^{-2/u}=e^{-2}$。
填空题 2
$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{-\frac5x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$e^{-5}$
1. 原式 $=\left[\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}\right]^{-5}$。
2. 方括号内是重要极限 $e$，所以结果为 $e^{-5}$。
填空题 3
$\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{2x+1}{3x+1}\right)^{\frac1x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$e^{-1}$
1. 取对数：$\frac1x[\ln(1+2x)-\ln(1+3x)]$。
2. 当 $x\to0$ 时，$\ln(1+2x)\sim2x$，$\ln(1+3x)\sim3x$。
3. 对数极限为 $\frac{2x-3x}{x}=-1$，故原极限为 $e^{-1}$。
填空题 4
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sin\dfrac2x+1\right)^{2x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$e^4$
1. 取对数：$2x\ln\left(1+\sin\frac2x\right)$。
2. 因为 $\sin\frac2x\sim\frac2x$，所以对数极限为 $2x\cdot\frac2x=4$。
3. 原式 $=e^4$。
填空题 5
$\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac2{x^2-1}\right)=\underline{\qquad}$。
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答案：$\dfrac12$
1. 通分：$\dfrac1{x-1}-\dfrac2{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x+1-2}{(x-1)(x+1)}$。
2. 分子为 $x-1$，约去后得 $\dfrac1{x+1}$。
3. 当 $x\to1$ 时，极限为 $\frac12$。
填空题 6
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{nx^2}{2}\tan\dfrac{2\pi}{n}=\underline{\qquad}$。
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答案：$\pi x^2$
1. 当 $n\to\infty$ 时，$\tan\frac{2\pi}{n}\sim\frac{2\pi}{n}$。
2. 原式等价于 $\dfrac{nx^2}{2}\cdot\dfrac{2\pi}{n}=\pi x^2$。
填空题 7
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x\ln(1+x)}{1-\cos x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$2$
1. 当 $x\to0$ 时，$\ln(1+x)\sim x$，$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$。
2. 原式趋于 $\dfrac{x\cdot x}{x^2/2}=2$。
填空题 8
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt2-\sqrt{1+\cos x}}{\sin^2 2x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$\dfrac{\sqrt2}{32}$
1. 因为 $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$，所以分子为 $\sqrt2\left(1-\cos\frac x2\right)$。
2. 当 $x\to0$ 时，$1-\cos\frac x2\sim\frac{x^2}{8}$，分子 $\sim\frac{\sqrt2x^2}{8}$。
3. 分母 $\sin^2 2x\sim4x^2$。
4. 原式 $=\dfrac{\sqrt2/8}{4}=\dfrac{\sqrt2}{32}$。
填空题 9
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e-e\cos x}{\sqrt[3]{x^2+1}-1}=\underline{\qquad}$。
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答案：$\dfrac{3e}{2}$
1. 分子为 $e(1-\cos x)\sim e\cdot\frac{x^2}{2}$。
2. 分母 $(1+x^2)^{1/3}-1\sim\frac13x^2$。
3. 原式 $=\dfrac{e/2}{1/3}=\dfrac{3e}{2}$。
填空题 10
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3\sin x+x^2\cos\frac1x}{2x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$\dfrac32$
1. 拆分：$\dfrac{3\sin x}{2x}+\dfrac{x}{2}\cos\dfrac1x$。
2. 第一项趋于 $\frac32$；第二项由无穷小量乘有界函数趋于 $0$。
3. 因此极限为 $\frac32$。
填空题 11
极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{e^{\frac1x}-1}{\sin\frac1x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$1$
1. 令 $t=\frac1x$，当 $x\to\infty$ 时 $t\to0$。
2. 原式 $=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{e^t-1}{\sin t}$。
3. 使用 $e^t-1\sim t$，$\sin t\sim t$，极限为 $1$。
填空题 12
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1-\cos x}{x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$0$
1. $1-\cos x$ 有界，且 $0\le1-\cos x\le2$。
2. 因为 $\frac1x\to0$，所以有界量乘以无穷小量，极限为 $0$。
填空题 13
$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+\sin x}{2x^2-\sin x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$\dfrac12$
1. 分子分母同除以 $x^2$：$\dfrac{1+\frac{\sin x}{x^2}}{2-\frac{\sin x}{x^2}}$。
2. $\frac{\sin x}{x^2}\to0$，故极限为 $\frac12$。
填空题 14
设 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=2$，$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=5$，则 $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\underline{\qquad}$。
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答案：$\dfrac25$
1. 由极限商法则，$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$（当分母极限非零）。
2. 设 $\lim g(x)=L$，则 $\dfrac2L=5$，所以 $L=\dfrac25$。
填空题 15
设 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+f(x)\sin x}-1}{x\ln(1+2x)}=2$，则 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sin x}=\underline{\qquad}$。
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答案：$8$
1. 当 $x\to0$ 时，$\sqrt{1+u}-1\sim\frac u2$，其中 $u=f(x)\sin x$。
2. 分母 $x\ln(1+2x)\sim2x^2$。
3. 因此 $\dfrac{f(x)\sin x}{4x^2}\to2$，即 $\dfrac{f(x)\sin x}{x^2}\to8$。
4. 又 $\sin x\sim x$，所以 $\dfrac{f(x)}{\sin x}\to8$。
填空题 16
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac1{n^2+n+1}+\dfrac2{n^2+n+2}+\cdots+\dfrac n{n^2+n+n}\right)=\underline{\qquad}$。
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答案：$\dfrac12$
1. 第 $k$ 项为 $\dfrac{k}{n^2+n+k}$，且 $1\le k\le n$。
2. 分母单调增大，故每项位于 $\dfrac{k}{n^2+2n}$ 与 $\dfrac{k}{n^2+n}$ 之间。
3. 求和得 $\dfrac{n(n+1)}{2(n^2+2n)}\le S_n\le\dfrac{n(n+1)}{2(n^2+n)}$。
4. 两端极限均为 $\frac12$，由夹逼准则得原极限为 $\frac12$。
填空题 17
若 $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ 存在，且 $f(x)=x^3+\dfrac{2x^2+1}{x+1}+2\lim\limits_{x\to1}f(x)$，则 $\lim\limits_{x\to1}f(x)=\underline{\qquad}$。
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答案：$-\dfrac52$
1. 设 $L=\lim\limits_{x\to1}f(x)$。对等式取 $x\to1$ 的极限。
2. 得 $L=1+\dfrac{2+1}{2}+2L=\dfrac52+2L$。
3. 移项得 $-L=\dfrac52$，故 $L=-\dfrac52$。
填空题 18
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2x+4\sin x\lim\limits_{x\to\frac\pi2}f(x)$，则 $f(x)=\underline{\qquad}$。
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答案：$f(x)=2x-\dfrac{4\pi}{3}\sin x$
1. 设 $L=\lim\limits_{x\to\frac\pi2}f(x)$，则 $f(x)=2x+4L\sin x$。
2. 令 $x\to\frac\pi2$，由连续性得 $L=2\cdot\frac\pi2+4L\cdot1=\pi+4L$。
3. 解得 $L=-\dfrac\pi3$，代回得 $f(x)=2x-\dfrac{4\pi}{3}\sin x$。
填空题 19
若 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{e^x-a}(\cos x-b)=5$，则 $a=\underline{\qquad}$，$b=\underline{\qquad}$。
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答案：$a=1$，$b=-4$
1. 当 $x\to0$ 时，$\sin x\to0$。若 $a\ne1$，则 $e^x-a\to1-a\ne0$，整个极限为 $0$，不可能等于 $5$。
2. 因此必须有 $a=1$，此时 $\dfrac{\sin x}{e^x-1}\to1$。
3. 原式化为 $1\cdot(1-b)=5$，所以 $b=-4$。
计算题 1
求极限 $\lim\limits_{x\to\sqrt2}\sqrt{1+\arcsin^2\dfrac x2}$。
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答案：$\sqrt{1+\dfrac{\pi^2}{16}}$
1. 函数在 $x=\sqrt2$ 附近连续，可以直接代入。
2. $\arcsin\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac\pi4$，所以 $\arcsin^2\dfrac x2\to\dfrac{\pi^2}{16}$。
3. 原式 $=\sqrt{1+\dfrac{\pi^2}{16}}$。
计算题 2
求极限 $\lim\limits_{x\to4}\dfrac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt x-2}$。
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答案：$\dfrac43$
1. 分子有理化：$\sqrt{1+2x}-3=\dfrac{2(x-4)}{\sqrt{1+2x}+3}$。
2. 分母有理化：$\sqrt x-2=\dfrac{x-4}{\sqrt x+2}$。
3. 原式 $=\lim\limits_{x\to4}\dfrac{2(\sqrt x+2)}{\sqrt{1+2x}+3}$。
4. 代入 $x=4$，得 $\dfrac{2(2+2)}{3+3}=\dfrac43$。
计算题 3
计算 $\lim\limits_{x\to+\infty}\arcsin(\sqrt{x^2+x}-x)$。
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答案：$\dfrac\pi6$
1. 有理化：$\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$。
2. 分子分母同除以 $x$：$\dfrac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12$。
3. 由反正弦函数连续性，原式 $=\arcsin\frac12=\frac\pi6$。
计算题 4
求极限 $\lim\limits_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+4x+8}+x)$。
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答案：$-2$
1. 令 $x=-t$，则 $t\to+\infty$，原式为 $\sqrt{t^2-4t+8}-t$。
2. 有理化：$\sqrt{t^2-4t+8}-t=\dfrac{-4t+8}{\sqrt{t^2-4t+8}+t}$。
3. 分子分母同除以 $t$，得 $\dfrac{-4+\frac8t}{\sqrt{1-\frac4t+\frac8{t^2}}+1}\to\dfrac{-4}{2}=-2$。
计算题 5
计算 $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{x-3}{x^2-1}-\dfrac2{x+1}\right)$。
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答案：不存在（趋于无穷间断）
1. 通分：$\dfrac{x-3}{x^2-1}-\dfrac2{x+1}=\dfrac{x-3-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$。
2. 分子化简为 $x-3-2x+2=-x-1$，所以原式为 $-\dfrac1{x-1}$。
3. $x\to1^-$ 时趋于 $+\infty$，$x\to1^+$ 时趋于 $-\infty$。
4. 左右趋势不同，故双侧极限不存在。
计算题 6
计算 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x-1}{\sqrt x-1}$。
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答案：$2$
1. 分解：$x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$。
2. 原式 $=\lim\limits_{x\to1}(\sqrt x+1)=2$。
计算题 7
计算 $\lim\limits_{x\to9}\left(\dfrac1{\sqrt x-3}-\dfrac6{x-9}\right)$。
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答案：$\dfrac16$
1. 利用 $x-9=(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)$，通分得 $\dfrac{\sqrt x+3-6}{x-9}$。
2. 分子为 $\sqrt x-3$，约去后得 $\dfrac1{\sqrt x+3}$。
3. 代入 $x=9$，极限为 $\dfrac1{3+3}=\dfrac16$。
计算题 8
求极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{2x}+e^{-x}}{3e^x+2e^{2x}}$。
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答案：$\dfrac12$
1. 分子分母同除以主导项 $e^{2x}$。
2. 得 $\dfrac{1+e^{-3x}}{3e^{-x}+2}$。
3. 令 $x\to+\infty$，负指数项趋于 $0$，故极限为 $\frac12$。
计算题 9
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\arctan\dfrac{\sin x}{x}$。
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答案：$\dfrac\pi4$
1. 由重要极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。
2. 反正切函数连续，所以原式 $=\arctan1=\frac\pi4$。
计算题 10
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1{1+x}\right)^{\frac1{2x}+1}$。
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答案：$e^{-\frac12}$
1. 取对数：$\left(\dfrac1{2x}+1\right)\ln\dfrac1{1+x}=-\left(\dfrac1{2x}+1\right)\ln(1+x)$。
2. 因为 $\ln(1+x)\sim x$，所以对数极限为 $-\left(\frac1{2x}+1\right)x=-\frac12-x\to-\frac12$。
3. 原式 $=e^{-1/2}$。
计算题 11
求极限 $\lim\limits_{x\to\frac\pi2}(1+\cos^2x)^{\tan^2x}$。
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答案：$e$
1. 令 $t=\cos^2x$，则 $t\to0$，且 $\tan^2x=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1-t}{t}$。
2. 取对数：$\dfrac{1-t}{t}\ln(1+t)$。
3. 由 $\ln(1+t)\sim t$，对数极限为 $1$，故原式为 $e$。
计算题 12
求极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{x+1}$。
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答案：$e^{-2}$
1. 改写：$\dfrac{x-1}{x+1}=1-\dfrac2{x+1}$。
2. 原式 $=\left[\left(1-\dfrac2{x+1}\right)^{\frac{x+1}{-2}}\right]^{-2}$。
3. 方括号内趋于 $e$，故结果为 $e^{-2}$。
计算题 13
求极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}x[\ln(x+1)-\ln x]$。
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答案：$1$
1. 合并对数：$\ln(x+1)-\ln x=\ln(1+\frac1x)$。
2. 原式 $=\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln(1+\frac1x)$。
3. 由 $\ln(1+\frac1x)\sim\frac1x$，极限为 $1$。
计算题 14
已知 $f(x)=\dfrac{x^2-3x}{|x|(x^2-9)}$，求 $\lim\limits_{x\to0}f(x)$、$\lim\limits_{x\to3}f(x)$、$\lim\limits_{x\to-3}f(x)$。
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答案：$x\to0$ 不存在；$x\to3$ 为 $\frac16$；$x\to-3$ 不存在
1. 因 $x^2-9=(x-3)(x+3)$，且 $x^2-3x=x(x-3)$，故在 $x\ne0,\pm3$ 时 $f(x)=\dfrac{x}{|x|(x+3)}$。
2. $x\to0^-$ 时 $f(x)\to-\frac13$，$x\to0^+$ 时 $f(x)\to\frac13$，故极限不存在。
3. $x\to3$ 时，$f(x)\to\dfrac3{3(6)}=\frac16$。
4. 在 $x=-3$ 附近可写为 $-\frac1{x+3}$，左右分别趋于 $+\infty$ 与 $-\infty$，故极限不存在。
计算题 15
求极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(x+5)^{\frac32}}{\sqrt{x^3+2x^2+6}}$。
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答案：$1$
1. 分母 $\sqrt{x^3+2x^2+6}=x^{3/2}\sqrt{1+\frac2x+\frac6{x^3}}$。
2. 分子 $(x+5)^{3/2}=x^{3/2}(1+\frac5x)^{3/2}$。
3. 原式 $=\dfrac{(1+\frac5x)^{3/2}}{\sqrt{1+\frac2x+\frac6{x^3}}}\to1$。
计算题 16
求极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{(2x-3)^{30}(3x+1)^{20}}{(2x-1)^{50}}$。
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答案：$\left(\dfrac32\right)^{20}$
1. 分子总次数为 $30+20=50$，与分母次数相同。
2. 分别比较最高次项系数：分子为 $2^{30}\cdot3^{20}$，分母为 $2^{50}$。
3. 所以极限为 $2^{30}3^{20}/2^{50}=(3/2)^{20}$。
计算题 17
计算 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-e^{\arcsin x}}{\ln(1+\sin x)}$。
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答案：$-1$
1. 当 $x\to0$ 时，$e^{\arcsin x}-1\sim\arcsin x\sim x$。
2. $\ln(1+\sin x)\sim\sin x\sim x$。
3. 分子为 $-(e^{\arcsin x}-1)\sim-x$，故原式趋于 $-1$。
计算题 18
计算 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sin(x^2-1)}{x^3-1}$。
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答案：$\dfrac23$
1. 分子 $x^2-1=(x-1)(x+1)\to0$，故 $\sin(x^2-1)\sim(x-1)(x+1)$。
2. 分母 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$。
3. 原式 $=\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\to\dfrac{2}{3}$。
计算题 19
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{x\ln(1+2x)}$。
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答案：$\dfrac14$
1. 分子利用 $\sqrt{1+u}-1\sim\frac u2$，其中 $u=x\sin x$。
2. $\sqrt{1+x\sin x}-1\sim\dfrac{x\sin x}{2}\sim\dfrac{x^2}{2}$。
3. 分母 $x\ln(1+2x)\sim2x^2$。
4. 原式 $=\dfrac{x^2/2}{2x^2}=\dfrac14$。
计算题 20
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x\sin x}$。
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答案：$2$
1. $1-\cos2x=2\sin^2x$。
2. 原式 $=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2\sin^2x}{x\sin x}=2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=2$。
计算题 21
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x(1-\cos x)}{\sqrt[3]{1+x^3}-1}$。
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答案：$\dfrac32$
1. 分子：$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$，所以 $x(1-\cos x)\sim\frac{x^3}{2}$。
2. 分母：$\sqrt[3]{1+x^3}-1\sim\frac13x^3$。
3. 原式 $=\dfrac{x^3/2}{x^3/3}=\dfrac32$。
计算题 22
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x^2-\pi)\sin5x}{e^{\sin x}-1}$。
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答案：$-5\pi$
1. 当 $x\to0$ 时，$x^2-\pi\to-\pi$。
2. $\sin5x\sim5x$，$e^{\sin x}-1\sim\sin x\sim x$。
3. 原式 $=\lim\limits_{x\to0}(x^2-\pi)\cdot\dfrac{5x}{x}=-5\pi$。
计算题 23
求极限 $\lim\limits_{x\to0}\left[\dfrac{e^{7x}-e^{-x}}{8\sin3x}-(e^x-1)\cos\dfrac1x\right]$。
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答案：$\dfrac13$
1. 第一项：$e^{7x}-e^{-x}=e^{-x}(e^{8x}-1)\sim8x$，而 $\sin3x\sim3x$。
2. 所以第一项趋于 $\dfrac{8x}{8\cdot3x}=\dfrac13$。
3. 第二项中 $e^x-1\to0$，$\cos\frac1x$ 有界，故该项趋于 $0$。
4. 原极限为 $\frac13$。
计算题 24
求极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\cos x}{x}$。
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答案：$1$
1. 拆分：$\dfrac{x+\cos x}{x}=1+\dfrac{\cos x}{x}$。
2. $\cos x$ 有界，而 $\frac1x\to0$，故 $\frac{\cos x}{x}\to0$。
3. 极限为 $1$。
计算题 25
求极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac1x\sin x$，以及 $\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x$。
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答案：两个极限都为 $0$
1. 第一式：$\frac1x\to0$，$\sin x$ 有界，所以极限为 $0$。
2. 第二式：$x\to0$，$\sin\frac1x$ 有界，所以极限为 $0$。
计算题 26
求极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\arctan x}{x}$。
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答案：$0$
1. 当 $x\to+\infty$ 时，$\arctan x\to\frac\pi2$，为有界量。
2. 分母 $x\to+\infty$，所以原式为有界量除以无穷大，极限为 $0$。
计算题 27
求极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+x-\sin x}{x^3-4x+5}(\sin x+\cos x)$。
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答案：$0$
1. 分式部分分子为二次，分母为三次，且含 $-\sin x$ 相对更高次项可忽略。
2. 当 $x\to\infty$ 时，$\dfrac{x^2+x-\sin x}{x^3-4x+5}\sim\dfrac1x\to0$。
3. $(\sin x+\cos x)$ 有界，故原极限为 $0$。
计算题 28
已知 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln\left[1+\dfrac{f(x)}{\sin x}\right]}{2^x-1}=3$，求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}$。
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答案：$3\ln2$
1. 分母：$2^x-1\sim x\ln2$。
2. 分子：当 $\frac{f(x)}{\sin x}\to0$ 时，$\ln\left(1+\frac{f(x)}{\sin x}\right)\sim\frac{f(x)}{\sin x}$。
3. 因而 $\dfrac{f(x)}{\sin x}\cdot\dfrac1{x\ln2}\to3$，即 $\dfrac{f(x)}{x\sin x}\to3\ln2$。
4. 又 $x\sin x\sim x^2$，所以 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=3\ln2$。
计算题 29
设 $f(x)=\begin{cases}x,&x\lt 3,\\2x+1,&x\ge 3,\end{cases}$ 作出 $f(x)$ 的图象，并讨论当 $x\to3$ 时，$f(x)$ 的左右极限及 $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ 的存在性。
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答案：左极限为 $3$，右极限为 $7$，极限不存在
1. 图象是两条射线：左侧 $y=x$（$x\lt3$），右侧 $y=2x+1$（$x\ge3$）。
2. 左极限：$\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=3$。
3. 右极限：$\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=2\cdot3+1=7$。
4. 左右极限不相等，所以双侧极限不存在。
计算题 30
设函数 $f(x)=\begin{cases}1+(x+1)\sin\dfrac1{x+1},&x\lt-1,\\1,&-1\le x\le0,\\\arctan x,&x\gt0,\end{cases}$ 讨论 $f(x)$ 在点 $x=-1$ 和 $x=0$ 处的极限。
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答案：$x=-1$ 处极限为 $1$；$x=0$ 处极限不存在
1. 在 $x=-1$ 处：左极限为 $1+0=1$，右极限在 $-1\le x\le0$ 上恒为 $1$，故极限为 $1$。
2. 在 $x=0$ 处：左极限为 $1$。
3. 右极限为 $\lim\limits_{x\to0^+}\arctan x=0$。
4. 左右极限不同，故 $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ 不存在。
计算题 31
求极限 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5^n-3^n}{5^n+2^n}$。
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答案：$1$
1. 分子分母同除以 $5^n$。
2. 得 $\dfrac{1-(3/5)^n}{1+(2/5)^n}$。
3. 因 $0\lt\frac35\lt1$、$0\lt\frac25\lt1$，两指数项趋于 $0$，极限为 $1$。
计算题 32
求极限 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac12+\dfrac1{2^2}+\cdots+\dfrac1{2^n}\right)$。
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答案：$2$
1. 括号内是首项 $1$、公比 $\frac12$ 的等比数列前 $n+1$ 项和。
2. $S_n=\dfrac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2}\to\dfrac1{1-1/2}=2$。
计算题 33
求极限 $\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+2n}-n)$。
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答案：$1$
1. 有理化：$\sqrt{n^2+2n}-n=\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}$。
2. 分子分母同除以 $n$：$\dfrac2{\sqrt{1+2/n}+1}\to1$。
计算题 34
求极限 $\lim\limits_{n\to\infty}n\sin\dfrac n{2n^2+1}$。
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答案：$\dfrac12$
1. 当 $n\to\infty$ 时，$\dfrac n{2n^2+1}\sim\dfrac1{2n}\to0$。
2. 因此 $\sin\dfrac n{2n^2+1}\sim\dfrac n{2n^2+1}$。
3. 原式 $=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{2n^2+1}=\dfrac12$。
计算题 35
求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{1+2}+\dfrac1{1+2+3}+\cdots+\dfrac1{1+2+\cdots+n}\right)$。
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答案：$2$
1. 第 $k$ 项为 $\dfrac1{1+2+\cdots+k}=\dfrac{2}{k(k+1)}$。
2. 裂项：$\dfrac{2}{k(k+1)}=2\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\right)$。
3. 前 $n$ 项和为 $2\left(1-\dfrac1{n+1}\right)$。
4. 令 $n\to\infty$，极限为 $2$。
计算题 36
求 $\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\dfrac1{n^2+\pi}+\dfrac1{n^2+2\pi}+\cdots+\dfrac1{n^2+n\pi}\right)$。
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答案：$1$
1. 括号内共 $n$ 项，每项介于 $\dfrac1{n^2+n\pi}$ 与 $\dfrac1{n^2+\pi}$ 之间。
2. 因此 $ \dfrac n{n^2+n\pi}\le S_n\le\dfrac n{n^2+\pi}$。
3. 两端极限都为 $0$？注意求的是 $nS_n$：$ \dfrac{n^2}{n^2+n\pi}\le nS_n\le\dfrac{n^2}{n^2+\pi}$。
4. 两端都趋于 $1$，由夹逼准则得极限为 $1$。
计算题 37
已知 $a$，$b$ 为常数，且 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{ax^2+bx+5}{3x+2}=5$，求 $a$，$b$ 的值。
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答案：$a=0$，$b=15$
1. 极限为有限值，分子次数不能高于分母次数，因此二次项系数 $a=0$。
2. 此时原式为 $\dfrac{bx+5}{3x+2}$，分子分母同次。
3. 极限为 $\dfrac b3=5$，解得 $b=15$。
计算题 38
已知 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}-ax+b\right)=3$，求常数 $a$，$b$。
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答案：$a=1$，$b=4$
1. 先对分式做除法：$\dfrac{x^2+1}{x+1}=x-1+\dfrac2{x+1}$。
2. 原式 $=\lim\limits_{x\to\infty}\left[(1-a)x+(b-1)+\dfrac2{x+1}\right]$。
3. 要使极限为有限值 $3$，必须有 $1-a=0$，即 $a=1$。
4. 此时极限为 $b-1=3$，解得 $b=4$。
经典练习 1
若函数 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ne1,\\a,&x=1,\end{cases}$ 在 $x=1$ 处连续，则常数 $a=$（ ）
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$
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答案：D
1. 连续性要求 $\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)$。
2. 当 $x\ne1$ 时 $f(x)=x+1$，故 $\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。
3. 于是 $f(1)=a=2$。
经典练习 2
点 $x=3$ 是 $f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$ 的（ ）
A. 连续点
B. 可去间断点
C. 无穷间断点
D. 跳跃间断点
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答案：B
1. 因式分解：$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$。
2. 当 $x\ne3$ 时，$f(x)=x+2$，故 $\lim\limits_{x\to3}f(x)=5$。
3. 极限存在，但 $f(3)$ 无定义，所以 $x=3$ 是可去间断点。
经典练习 3
函数 $f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2+x-2}$ 的间断点是（ ）
A. $x=-2$ 和 $x=0$
B. $x=-2$ 和 $x=1$
C. $x=-1$ 和 $x=2$
D. $x=0$ 和 $x=1$
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答案：B
1. 分母因式分解：$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$。
2. 分母为零时函数无定义，故使分母为零的点是 $x=-2$ 与 $x=1$。
3. 这两个点处分子分别为 $6$ 与 $0$，$x=-2$ 为无穷间断点，$x=1$ 处分子也同时为零，但无论如何间断点就是 $x=-2$ 和 $x=1$。
经典练习 4
$x=0$ 是函数 $f(x)=\begin{cases}(1-2x)^{\frac1x},&x<0,\\e^2+x,&x\ge0\end{cases}$ 的（ ）
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 连续点
D. 第二类间断点
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答案：B
1. 左极限：$\lim\limits_{x\to0^-}(1-2x)^{\frac1x}=e^{-2}$，因为 $\frac{\ln(1-2x)}x\sim-2$。
2. 右极限：$\lim\limits_{x\to0^+}(e^2+x)=e^2$，且 $f(0)=e^2$。
3. 左右极限都存在但不相等，故 $x=0$ 是跳跃间断点。
经典练习 5
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=4$，则 $f(x_0)=$（ ）
A. $-4$
B. $0$
C. $\dfrac14$
D. $4$
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答案：B
1. 由连续性，$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
2. 又 $f(x)=(x-x_0)\cdot\dfrac{f(x)}{x-x_0}$，其中 $x-x_0\to0$，$\dfrac{f(x)}{x-x_0}\to4$。
3. 所以 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\cdot4=0$，从而 $f(x_0)=0$。
经典练习 6
设 $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$，要使 $f(x)$ 在 $x=3$ 处连续，应补充定义 $f(3)=$ 。
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答案：$\dfrac14$
1. 有理化分子：$\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\dfrac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}$。
2. 因为 $(x+1)-4=x-3$，约去后得 $\dfrac1{\sqrt{x+1}+2}$。
3. 当 $x\to3$ 时极限为 $\dfrac1{\sqrt4+2}=\dfrac14$，故补充定义 $f(3)=\dfrac14$。
经典练习 7
若函数 $f(x)=\begin{cases}a(x+1),&x\le0,\\(1+2x)^{\frac1x},&x>0,\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ 。
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答案：$a=e^2$
1. 左极限：$\lim\limits_{x\to0^-}a(x+1)=a$，且 $f(0)=a$。
2. 右极限：$\lim\limits_{x\to0^+}(1+2x)^{\frac1x}=e^2$，因为 $\frac{\ln(1+2x)}x\to2$。
3. 连续性要求左右极限相等，所以 $a=e^2$。
经典练习 8
确定常数 $a$，$b$ 的值，使函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x+a}{x^2+1},&x<0,\\b,&x=0,\\\left(1+\dfrac2x\right)^x,&x>0\end{cases}$ 在点 $x=0$ 处连续。
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答案：$a=e^2$，$b=e^2$
1. 左极限：$\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x+a}{x^2+1}=a$。
2. 右极限：$\lim\limits_{x\to0^+}\left(1+\dfrac2x\right)^x$。取对数得 $x\ln\left(1+\dfrac2x\right)$，而 $\ln\left(1+\dfrac2x\right)\sim\dfrac2x$，故对数极限为 $2$，右极限为 $e^2$。
3. 连续性要求 $a=b=e^2$。
经典练习 9
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin2(x-1)}{x-1},&x<1,\\a,&x=1,\\x+b,&x>1\end{cases}$ 在点 $x=1$ 处连续，求常数 $a$ 和 $b$ 的值。
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答案：$a=2$，$b=1$
1. 左极限：令 $u=x-1\to0$，得 $\lim\limits_{u\to0}\dfrac{\sin2u}{u}=2$，所以 $a=2$。
2. 右极限：$\lim\limits_{x\to1^+}(x+b)=1+b$。
3. 连续性要求 $1+b=2$，所以 $b=1$。
经典练习 10
已知 $f(x)=\begin{cases}(1+x^2)^{\frac1x},&x\ne0,\\1,&x=0,\end{cases}$ 试判断函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性。
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答案：在 $x=0$ 处连续
1. 取对数：$\ln f(x)=\dfrac{\ln(1+x^2)}x$，当 $x\to0$ 时 $\ln(1+x^2)\sim x^2$。
2. 于是 $\ln f(x)\sim\dfrac{x^2}x=x\to0$，故 $\lim\limits_{x\to0}f(x)=e^0=1$。
3. 又 $f(0)=1$，极限值等于函数值，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。